美国大学数学专业 - 中国数学六十年来的展史

1．国际著名数学大师，沃尔夫数学奖得主，陈省身
1931年入清华大学研究院，1934军获硕士学位．1934年去汉堡大学从Blaschke学习.1937年回国任西南联合大学教授．1943年到1945年任普林斯顿高等研究所研究员．1949年初赴美，旋任芝加哥大学教授.1960年到加州大学伯克利分校任教授，1979年退休成为名誉教授，仍继续任教到1984年．1981年到1984年任新建的伯克利数学研究所所长，其后任名誉所长。陈省身的主要工作领域是微分几何学及其相关分支．还在积分几何，射影微分几何，极小子流形，网几何学，全曲率与各种浸入理论，外微分形式与偏微分方程等诸多领域有开拓性的贡献．陈省身本有极多荣誉，包括中央研究院院士（1948）．美国国家科学院院士（1961）及国家科学奖章（1975），伦敦皇家学会国外会员（1985），法国科学院国外院士’（1989），中国科学院国外院士等。荣获1983／1984年度Wolf奖，及1983年度美国科学会Steele奖中的终身成就奖．
2．享有国际盛誉的大数学家，新中国数学事业发展的重要奠基人，华罗庚
华罗庚是一位人生经历传奇的数学家，早年辍学，1930年因在《科学》上发表了关于代数方程式解法的文章，受到熊庆来的重视，被邀到清华大学学习和工作，在杨武之指引下，开始了数论的研究。1936年，作为访问学者去英国剑桥大学工作。1938年回国，受聘为西南联合大学教授。1946年应美国普林斯顿高等研究所邀请任研究员，并在普林斯顿大学执教。1948年开始，他为伊利诺伊大学教授。1950年回国，先后任清华大学教授，中国科学院数学研究所所长，数理化学部委员和学部副主任，中国科学技术大学数学系主任、副校长，中国科学院应用数学研究所所长，中国科学院副院长、 团委员等职。还担任过多届中国数学会理事长。此外，华罗庚还是第一、二、三、四、五届全国人民代表大会常务委员会委员和中国人民政治协商会议第六届全国委员会副 。华罗庚是在国际上享有盛誉的数学家，他的名字在美国施密斯松尼博物馆与芝加哥科技博物馆等著名博物馆中，与少数经典数学家列在一起。他被选为美国科学院国外院士，第三世界科学院院士，联邦德国巴伐利亚科学院院士。又被授予法国南锡大学、香港中文大学与美国伊利诺伊大学荣誉博士。华罗庚在解析数论、矩阵几何学、典型群、自守函数论、多复变函数论、偏微分方程、高维数值积分等广泛数学领域中都作出卓越贡献。由于华罗庚的重大贡献，有许多用他他的名字命名的定理、引理、不等式、算子与方法。他共发表专著与学术论文近三百篇。华罗庚还根据中国实情与国际潮流，倡导应用数学与计算机研制。他身体力行，亲自去二十七个省市普及应用数学方法长达二十年之久，为经济建设作出了重大贡献。
3．仅次于哥德尔的逻辑数学大师，王浩
1943年于西南联合大学数学系毕业。1945年于清华大学研究生院哲学部毕业。1948年获美国哈佛大学哲学博士学位。1950～1951年在瑞士联邦工学院数学研究所从事研究工作1951～1953年任哈佛大学助理教授。1954～1961年在英国牛津大学作第二套洛克讲座讲演,又任逻辑及数理哲学高级教职。1961～1967 年任哈佛大学教授。1967年后任美国洛克斐勒大学教授,主持逻辑研究室工作。1985年兼任中国北京大学名誉教授。1986年兼任中国清华大学名誉教授。50年代 初被选为美国国家科学院院士,后又被选为不列颠科学院外国院士，美籍华裔数学家、逻辑学家、计算机科学家、哲学家。
4．著名数学家力学家，美国科学院院士，林家翘
1937年毕业于清华大学物理系。1941年获加拿大多伦多大学硕士学位。1944年获美国加州理工学院博士学位。1953 年起先后担任美国麻省理工学院数学教授、学院教授、荣誉退休教授。 林家翘教授曾获:美国机械工程师学会Timoshenko奖，美国国家科学院应用数学和数值分析奖，美国物理学会流体力学奖。他是美国国家文理学院院士(1951)，美国国家科学院院士(1962)， “中央研究院”院士(1960)。从40年代开始，林家翘教授在流体力学的流动稳定性和湍流理论方面的工作带动了整整一代人在这一领域的研究探索。从60年代开始，他进入天体物理的研究领域，开创了星系螺旋结构的密度波理论，并为国际所公认。1994年6月8日当选为首批中国科学院外籍士。
5．我国泛函分析领域研究先驱者，曾远荣
1919年入清华学校（清华大学前身）留美预备部，一直读到1927年7月。由于学习成绩优异，先后在美国芝加哥大学，普林斯顿大学及耶鲁大学学习并研究数学，1933年取得博士学位。1934年8月至1942年7月一直任教于清华大学（1938年与北京大学、南开大学在昆明组成西南联合大学）。1950年2月，受国立南京大学数学系系主任孙光远教授写信聘请到南京大学任教直至退休，曾在南京大学建立国内最早的计算数学专业。长期从事泛函分析研究，是我国开展这一领域研究的先驱者之一，在广义逆等研究领域成就卓著。
6．我国最早提倡应用数学与计算数学的学者，赵访熊
1922年考取北京清华学校。当时清华学校是公费留美预备学校，竞争激烈，在江苏只招3名学生，他在众多考生中名列榜首。毕业后即到美国麻省理工学院（MIT）电机系学习。他1930年在电机系毕业，被哈佛大学数学系录取为研究生，且于1931年获硕士学位。1933年他受聘回国在清华大学数学系任教，1935年被聘为教授，从此一直在清华大学任教，参与创办国内第一个计算数学专业。赵访熊于1962年和1978年先后两次出任清华大学副校长，1980－1984年兼任新成立的应用数学系主任，并受聘担任国务院学位委员会学科评议组委员。他担任过中国数学会理事、名誉理事。1978年至1989年担任第一、二届计算数学学会理事长及第三届名誉理事长和《计算数学学报》主编等一系列职务。数学家，数学教育家。我国最早提倡和从事应用数学与计算数学的教学与研究的学者之一。自编我国第一部工科《高等微积分》教材。在方程求根及应用数学研究方面颇有建树。
7．著名数学家，数学教育家，吴大任
1930年与陈省身以最优等成绩在南开大学毕业，考取清华大学研究生，1933年夏，在姜立夫的鼓励下，吴大任参加了中英庚款第一届公费留学考试，被录取到英国学习。他本想到剑桥大学攻读，因抵伦敦时间错过了该校入学的时机，改入伦敦大学的大学学院，注册为博士研究生。1937年9月初，吴大任到武汉大学任教，之后即随武汉大学迁到四川乐山。后来长期担任南开大学领导工作与教学工作，著、译数学教材及名著多种。对我国高等教育事业作出了积极贡献。研究领域涉及积分几何、非欧几何、微分几何及其应用（齿轮理论）。1981年他任国家学位委员会第一届数学组成员，《中国大百科全书数学卷》编委兼几何拓扑学科的副主编以及全国自然科学名词审定委员会第一和第二届委员。
8．著名数学家，北大教授，庄圻泰
1927年考入清华学校，1932年毕业于清华大学数学系，1934年，熊庆来教授接受庄圻泰为自己的研究生，1936年于该校理科研究所毕业。1938年获法国巴黎大学数学博士学位。曾任云南大学教授。1952年院系调整后，庄圻泰留任北京大学。此后除继续担任复变函数课程的教学任务外，他还陆续讲过保角变换，拟保角变换，整函数与亚纯函数等专业课。九三学社社员。长期从事函数论研究，在整函数与亚纯函数的值分布理论上取得重要成果。著有《亚纯函数的奇异方向》，合编《AnalyticFunctionsOfOneCom·plexVariable》(在美国出版)
9．著名数学家，数学教育家，四川大学校长，柯召
1931年，入清华大学算学系。1933年，柯召以优异成绩毕业。1935年，他考上了中英庚款的公费留学生，去英国曼彻斯特大学深造，在导师L．J．莫德尔（Mordell）的指导下研究二次型，在表二次型为线性型平方和的问题上，取得优异成绩，回国后先后任教于重庆大学，四川大学。1953年，他调回四川大学任教至今。在这40余年间，他以满腔的热情投入教学和科研工作，为国家培养了许多优秀数学人材，在科研上硕果累累。与此同时，他还先后担任了四川大学教务长、副校长、校长、数学研究所所长等职，作为学术带头人和学校负责人，他卓有成效地抓了几个重要方面的工作：努力提高教学质量，积极开展基础理论研究，发展应用数学，培养一批高水平的人材。其研究领域涉及数论、组合数学与代数学。在二次型、不定方程领域获众多优秀成果。1955年选聘为中国科学院院士（学部委员）。
10．中央研究院院士，首批学部委员，许宝騄
1929年入清华大学数学系，1933年毕业获理学士学位，1936年许宝騄考取赴英留学，派往伦敦大学学院，在统计系学习数理统计，攻读博士学位。1940年到昆明，在西南联合大学任教。1948年他当选为中央研究院院士。回国后不久就发现已患肺结核。他长期带病工作，教学科研一直未断，在矩阵论，概率论和数理统计方面发表了10余篇论文。1955年，他当选为中国科学院学部委员。在中国开创了概率论、数理统计的教学与研究工作。在内曼－皮尔逊理论、参数估计理论、多元分析、极限理论等方面取得卓越成就，是多元统计分析学科的开拓者之一。1955年选聘为中国科学院院士（学部委员）。
11．中科院院士，原北大数学系主任，段学复
1932年考入了清华大学数学系（当时称为“算学系”）。 1936年夏，段学复获得理学士学位，毕业留校任助教。1941年8月进入美国普林斯顿大学数学系攻读博士学位。1946年回国任清华大学教授，自1952年院系调整后，任北京大学数学系系主任近40年。长期从事代数学的研究。在有限群的模表示论特别是指标块及其在有限单群和有限复线性群构造研究中的应用方面取得突出成果。指导学生用表示论和有限单群分类定理彻底解决了著名的Brauer第39问题、第40问题。在代数李群研究方面与国外学者合作完成了早期奠基性成果。在有限P群方面取得一系列研究成果。在数学应用于国防科研和国防建设方面作了大量工作。1955年选聘为中国科学院院士（学部委员）。
12．我国拓扑学的奠基人 江泽涵
毕业于南开大学，1927年参加清华大学留美专科生的考试，考取了那年唯一的学数学的名额，后在美国哈佛大学数学系留学，1930年获得博士学位。1930在美国普林斯顿大学数学系做研究助教。1931年起，长期担任任北京大学数学系教授，并任北京大学数学系主任，曾兼任理学院代理院长。数学家，数学教育家。早年长期担任北京大学数学系主任，为该系树立了优良的教学风尚。致力于拓扑学，特别是不动点理论的研究，是我国拓扑学研究的开拓者之一。1955年当选为中国科学院数理学部委员。

　　几何与拓扑：
　　1、James R. Munkres, Topology：较新的拓扑学的教材适用于本科高年级或研究生一年级；
　　2、Basic Topology by Armstrong：本科生拓扑学教材；
　　3、Kelley, General Topology：一般拓扑学的经典教材，不过观点较老；
　　4、Willard, General Topology：一般拓扑学新的经典教材；
　　5、Glen Bredon, Topology and geometry：研究生一年级的拓扑、几何教材；
　　6、Introduction to Topological Manifolds by John M. Lee：研究生一年级的拓扑、几何教材，是一本新书；
　　7、From calculus to cohomology by Madsen：很好的本科生代数拓扑、微分流形教材。
　　代数：
　　1、Abstract Algebra Dummit：最好的本科代数学参考书，标准的研究生一年级代数教材；
　　2、Algebra Lang：标准的研究生一、二年级代数教材，难度很高，适合作参考书；
　　3、Algebra Hungerford：标准的研究生一年级代数教材，适合作参考书；
　　4、Algebra M,Artin：标准的本科生代数教材；
　　5、Advanced Modern Algebra by Rotman：较新的研究生代数教材，很全面；
　　6、Algebra：a graduate course by Isaacs：较新的研究生代数教材；
　　7、Basic algebra Vol I&II by Jacobson：经典的代数学全面参考书，适合研究生参考。
　　分析基础：
　　1、Walter Rudin, Principles of mathematical analysis：本科数学分析的标准参考书；
　　2、Walter Rudin, Real and complex analysis：标准的研究生一年级分析教材；
　　3、Lars V. Ahlfors, Complex analysis：本科高年级和研究生一年级经典的复分析教材；
　　4、Functions of One Complex Variable I，J.B.Conway：研究生级别的单变量复分析经典；
　　5、Lang, Complex analysis：研究生级别的单变量复分析参考书；
　　6、Complex Analysis by Elias M. Stein：较新的研究生级别的单变量复分析教材；
　　7、Lang, Real and Functional analysis：研究生级别的分析参考书；
　　8、Royden, Real analysis：标准的研究生一年级实分析教材；
　　9、Folland, Real analysis：标准的研究生一年级实分析教材。
　　第二学年
　　代数：
　　1、Commutative ring theory, by H. Matsumura：较新的研究生交换代数标准教材；
　　2、Commutative Algebra I&II by Oscar Zariski , Pierre Samuel：经典的交换代数参考书；
　　3、An introduction to Commutative Algebra by Atiyah：标准的交换代数入门教材；
　　4、An introduction to homological algebra ,by weibel：较新的研究生二年级同调代数教材；
　　5、A Course in Homological Algebra by P.J.Hilton,U.Stammbach：经典全面的同调代数参考书；
　　6、Homological Algebra by Cartan：经典的同调代数参考书；
　　7、Methods of Homological Algebra by Sergei I. Gelfand, Yuri I. Manin：高级、经典的同调代数参考书；
　　8、Homology by Saunders Mac Lane：经典的同调代数系统介绍；
　　9、Commutative Algebra with a view toward Algebraic Geometry by Eisenbud：高级的代数几何、交换代数的参考书，最新的交换代数全面参考。
　　代数拓扑：
　　1、Algebraic Topology, A. Hatcher：最新的研究生代数拓扑标准教材；
　　2、Spaniers “Algebraic Topology”：经典的代数拓扑参考书；
　　3、Differential forms in algebraic topology, by Raoul Bott and Loring W. Tu：研究生代数拓扑标准教材；
　　4、Massey, A basic course in Algebraic topology：经典的研究生代数拓扑教材；
　　5、Fulton , Algebraic topology：a first course：很好本科生高年级和研究生一年级的代数拓扑参考书；
　　6、Glen Bredon, Topology and geometry：标准的研究生代数拓扑教材，有相当篇幅讲述光滑流形；
　　7、Algebraic Topology Homology and Homotopy：高级、经典的代数拓扑参考书；
　　8、A Concise Course in Algebraic Topology by J.P.May：研究生代数拓扑的入门教材，覆盖范围较广；
　　9、Elements of Homotopy Theory by G.W. Whitehead：高级、经典的代数拓扑参考书。
　　实分析、泛函分析：
　　1、Royden, Real analysis：标准研究生分析教材；
　　2、Walter Rudin, Real and complex analysis：标准研究生分析教材；
　　3、Halmos，”Measure Theory”：经典的研究生实分析教材，适合作参考书；
　　4、Walter Rudin, Functional analysis：标准的研究生泛函分析教材；
　　5、Conway,A course of Functional analysis：标准的研究生泛函分析教材； 6、Folland, Real analysis：标准研究生实分析教材；
　　7、Functional Analysis by Lax：高级的研究生泛函分析教材；
　　8、Functional Analysis by Yoshida：高级的研究生泛函分析参考书；
　　9、Measure Theory, Donald L. Cohn：经典的测度论参考书。
　　微分拓扑 李群、李代数
　　1、Hirsch, Differential topology：标准的研究生微分拓扑教材，有相当难度；
　　2、Lang, Differential and Riemannian manifolds：研究生微分流形的参考书，难度较高；
　　3、Warner,Foundations of Differentiable manifolds and Lie groups：标准研究生微分流形教材，有相当的篇幅讲述李群；
　　4、Representation theory: a first course, by W. Fulton and J. Harris：李群及其表示论标准教材；
　　5、Lie groups and algebraic groups, by A. L. Onishchik, E. B. Vinberg：李群的参考书；
　　6、Lectures on Lie Groups W.Y.Hsiang：李群的参考书；
　　7、Introduction to Smooth Manifolds by John M. Lee：较新的关于光滑流形的标准教材；
　　8、Lie Groups, Lie Algebras, and Their Representation by V.S. Varadarajan：最重要的李群、李代数参考书；
　　9、Humphreys, Introduction to Lie Algebras and Representation Theory , SpringerVerlag, GTM9：标准的李代数入门教材。
　　第三学年
　　微分几何：
　　1、Peter Petersen, Riemannian Geometry：标准的黎曼几何教材；
　　2、Riemannian Manifolds: An Introduction to Curvature by John M. Lee：最新的黎曼几何教材；
　　3、doCarmo, Riemannian Geometry.：标准的黎曼几何教材；
　　4、M. Spivak, A Comprehensive Introduction to Differential Geometry I—V：全面的微分几何经典，适合作参考书；
　　5、Helgason , Differential Geometry,Lie groups,and symmetric spaces：标准的微分几何教材；
　　6、Lang, Fundamentals of Differential Geometry：最新的微分几何教材，很适合作参考书；
　　7、kobayashi/nomizu, Foundations of Differential Geometry：经典的微分几何参考书；
　　8、Boothby,Introduction to Differentiable manifolds and Riemannian Geometry：标准的微分几何入门教材，主要讲述微分流形；
　　9、Riemannian Geometry I.Chavel：经典的黎曼几何参考书；
　　10、Dubrovin, Fomenko, Novikov “Modern geometry-methods and applications”Vol 1—3：经典的现代几何学参考书。
　　代数几何：
　　1、Harris,Algebraic Geometry: a first course：代数几何的入门教材；
　　2、Algebraic Geometry Robin Hartshorne ：经典的代数几何教材，难度很高；
　　3、Basic Algebraic Geometry 1&2 2nd ed. I.R.Shafarevich.：非常好的代数几何入门教材；
　　4、Principles of Algebraic Geometry by giffiths/harris：全面、经典的代数几何参考书，偏复代数几何；
　　5、Commutative Algebra with a view toward Algebraic Geometry by Eisenbud：高级的代数几何、交换代数的参考书，最新的交换代数全面参考；
　　6、The Geometry of Schemes by Eisenbud：很好的研究生代数几何入门教材；
　　7、The Red Book of Varieties and Schemes by Mumford：标准的研究生代数几何入门教材；
　　8、Algebraic Geometry I : Complex Projective Varieties by David Mumford：复代数几何的经典。
　　调和分析 偏微分方程
　　1、An Introduction to Harmonic Analysis,Third Edition Yitzhak Katznelson：调和分析的标准教材，很经典；
　　2、Evans, Partial differential equations：偏微分方程的经典教材；
　　3、Aleksei.A.Dezin，Partial differential equations，Springer-Verlag：偏微分方程的参考书；
　　4、L. Hormander “Linear Partial Differential Operators, ” I&II：偏微分方程的经典参考书；
　　5、A Course in Abstract Harmonic Analysis by Folland：高级的研究生调和分析教材；
　　6、Abstract Harmonic Analysis by Ross Hewitt：抽象调和分析的经典参考书；
　　7、Harmonic Analysis by Elias M. Stein：标准的研究生调和分析教材；
　　8、Elliptic Partial Differential Equations of Second Order by David Gilbarg：偏微分方程的经典参考书；
　　9、Partial Differential Equations ，by Jeffrey Rauch：标准的研究生偏微分方程教材。
　　复分析 多复分析导论
　　1、Functions of One Complex Variable II，J.B.Conway：单复变的经典教材，第二卷较深入；
　　2、Lectures on Riemann Surfaces O.Forster：黎曼曲面的参考书；
　　3、Compact riemann surfaces Jost：黎曼曲面的参考书；
　　4、Compact riemann surfaces Narasimhan：黎曼曲面的参考书；
　　5、Hormander ” An introduction to Complex Analysis in Several Variables”：多复变的标准入门教材；
　　6、Riemann surfaces , Lang：黎曼曲面的参考书；
　　7、Riemann Surfaces by Hershel M. Farkas：标准的研究生黎曼曲面教材；
　　8、Function Theory of Several Complex Variables by Steven G. Krantz：高级的研究生多复变参考书；
　　9、Complex Analysis: The Geometric Viewpoint by Steven G. Krantz：高级的研究生复分析参考书。
　　专业方向选修课：
　　1、多复分析；2、复几何；3、几何分析；4、抽象调和分析；5、代数几何；6、代数数论；7、微分几何；8、代数群、李代数与量子群；9、泛函分析与算子代数；10、数学物理；11、概率理论；12、动力系统与遍历理论；13、泛代数。
　　数学基础：
　　1、halmos ,native set theory；
　　2、fraenkel ,abstract set theory；
　　3、ebbinghaus ,mathematical logic；
　　4、enderton ,a mathematical introduction to logic；
　　5、landau, foundations of analysis；
　　6、maclane ,categories for working mathematican。应该在核心课程学习的过程中穿插选修

　　假设本科应有的水平
　　分析：
　　Walter Rudin, Principles of mathematical analysis；
　　Apostol , mathematical analysis；
　　M.spivak , calculus on manifolds；
　　Munkres ,analysis on manifolds；
　　Kolmogorov/fomin , introductory real analysis；
　　Arnold ,ordinary differential equations。
　　代数：
　　linear algebra by Stephen H. Friedberg；
　　linear algebra by hoffman；
　　linear algebra done right by Axler；
　　advanced linear algebra by Roman；
　　algebra ,artin；
　　a first course in abstract algebra by rotman。
　　几何：
　　do carmo, differential geometry of curves and surfaces；
　　Differential topology by Pollack；
　　Hilbert ,foundations of geometry；
　　James R. Munkres, Topology。
　　

可以试一下的，美国大学并不这么重视gre的成绩，只是作为参考，当然还有一方面是你要申请美国的那一类学校，哈佛斯坦佛之类的我就不知道了，还要看你其他很多方面的软实力。如果你要再考一次，随便哪科上面抓一下，上个315就更好了。不过你写作怎么样，也不要太低哈，上3总行吧？